В 2000 году Андрею Георгиевичу было присвоено Почетное звание «Заслуженный врач Российской Федерации».
С 2003 года профессор А.Г. Бебуришвили руководил лабораторией «Методов профилактики спаек», функционирующей в рамках Волгоградского научного центра РАН и Администрации Волгоградской области. Лаборатория всесторонне изучала процесс спайкообразования в брюшной полости и возможности активного малоинвазивного воздействия на уже имеющийся адгезивный процесс.
При участии Андрея Георгиевича в 2005 году была создана многопрофильная Клиника № 1 ВолгГМУ, основными научными направлениями которой стали хирургическая гепатология, гастроэнтерология и малоинвазивная хирургия.
За большой вклад в медицинскую науку, создание школы хирургов-гепатологов и врачей-эндоскопистов, подготовку специалистов для практического здравоохранения России и более 60 зарубежных стран, разработку и внедрение в клиническую практику новых методов хирургического лечения профессору А.Г. Бебуришвили в 2008 году было присвоено почетное звание «Заслуженный деятель наук Российской Федерации».
Андрей Георгиевич многие годы счастлив в браке. Супруга Наталья Петровна Храпова, доктор медицинских наук, долгие годы проработала в Волгоградском противочумном научно-исследовательском институте, а с 2006 г. – профессор кафедры молекулярной биологии и генетики ВолгГМУ.
Дети Андрея Георгиевича продолжают врачебную династию: сын Георгий Андреевич, кандидат медицинских наук, врач – анестезиолог-реаниматолог, и дочь Анастасия Андреевна, врач-психиатр.